땅은 유한합니다.
더구나 사람이 집짓고 살만한 땅은 많지 않습니다.
사람 살만한 땅을 넓혀가는 것은
산을 깍고 바다를 메운다 해도 한계가 있을 수 밖에 없습니다.

이렇게 유한한 땅에서
기하급수적으로 늘어가는 사람이 살아갈 수 있는 방법은
사는 공간의 차원을 높이는 수밖엔 없습니다.

우리 조상들의 삶은 2차원적인 것이었습니다.
주어진 땅에 그럭저럭 초가집도 짓고 기와집도 짓고 농사지으며 살만 했습니다.

그러나 사람은 차츰 늘어나고
욕심이 많아진 사람들은 더 많은 공간을 영위하고 싶어합니다.

세 평 좁은 방에 네 형제가 뒹굴며 커가면서도
집이 좁다 말하지 않고 잘 살아냈는데 
이제는 두 식구 살며 오십 평 아파트가 좁게 느껴질 때도 있습니다.

이렇게 많아져 가는 사람과 커져가는 인간의 욕망을 채워주기 위해
집 위에 집을 짓고 그 위에 또 집을 짓기 시작합니다.

이층, 삼층, 그리고 육십층, 백층, 삼백층의 건물을 만들어냅니다.
제한된 땅의 효용가치가 두 배, 세 배, 육십 배, 백 배, 삼백배로 늘어납니다.

그럼에도 지구가 수용할 수 있는 인간의 수는 무한하지 않습니다.
자원은 한계가 있고 지구는 스스로를 지켜낼 수 있는 경계선 상에 놓입니다.

이 모든 문제를 한 방에 해결할 수 있는 방법이 있습니다.
우리 선인들이 좁은 땅에 더 많이, 
더 잘 살아가기 위하여 
집 위에 집을 지으며 인간의 삶을 이차원에서 삼차원으로 만들어냈다면 
거기에 하나의 차원을 더하는 방법이 그것입니다.

뫼비우스의 띠는 평면의 종이로 만들어집니다.
긴 띠를 반 바퀴 돌려 이어붙이면
평면이면서 평면이 아닌 뫼비우스의 띠가 만들어집니다.

유크리드의 공간이 아니라 위상공간으로 바뀐 것입니다.
굳이 차원을 말한다면 2차원의 공간이 삼차원의 공간으로 바뀐 것입니다.

뫼비우스의 띠와 같은 원리로 만들어진 클라인의 병은
독일의 수학자 클라인이 발견합니다.
클라인 병은 뫼비우스의 띠가 앞면과 뒷면이 하나로 이어지는 것처럼 
안과 바깥을 구분 할 수 없는 공간입니다. 

닫혀있는 듯 보이지만 열려있는 공간이 클라인의 병이고 
불행하게도 우리는 이 도형의 모델을 만들 수 없습니다.

                                      

위의 사진에서는 좁은 관이 벽면을 뚫는 것처럼 보이지만 
실재의 클라인의 병은 겹치는 부분이 없고 
삼차원의 공간에서는 그 모델을 만들 수가 없기 때문입니다.

뫼비우스의 띠나 클라인의 병은 차원의 벽을 뚫으려는 기하학적인 접근입니다.
Quaternion[사원수]는 차원의 벽을 뚫으려는 대수적인 접근입니다.
물론 저들은 경계가 없습니다.
대수기하학도 있고 해석기하학도 있어 서로를 보강해 주는 역할을 합니다.

                  바둑 두는 곳에 와서 뭔 헛소리래? 하진 마세요.

이 세돌이 알파고에게 절대지지 않으리라 믿었던 것이 불과 얼마 전의 일입니다.
삼년 쯤 후에 클라인의 병이 이마트에서 팔리고 있을 수도 있는 일이니 말입니다.