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유민을 A, 화자를 B라고 하겠습니다.
이들의 변위는 xa, xb입니다.
문제 조건에 따라 L=xa=10*(t+1)입니다.
화자속력=dxb/dt=달리는속력+늘어나는 속력=1+xb*10/L 으로 계산할 수 있습니다.
늘어나는 속력은 xb : l = dxb/dt : dl/dt 로, 비례식을 이용하면 쉽게 생각할 수 있습니다.
L에 10(t+1)을 대입하면
dxb/dt=1+xb/(t+1) 이 나오고,
변수 처리를 위해 한번 더 미분하고, 여기에 다시 일계도함수를 대입하면
d2xb/dt2=1/(t+1) 라는 간단한 식이 나옵니다. (변위의 이계도함수이므로 가속도의 개념!)
여기서부터 적분을 통해 올라가면 됩니다.
dxb/dt = ln(t+1)+C1
이때 C1 적분상수는 초기속도를 이용하여 구할 수 있으며, t=0일 때 화자의 속도는 1이므로 C1값은 1이 됩니다.
dxb/dt = ln(t+1)+1
다시 xb를 구하기 위해 적분
xb = (t+1)ln(t+1)-t-1+t+C2=(t+1)ln(t+1)-1+C2
마찬가지로 상수 C2는 초기변위를 이용하여 구할 수 있으며, t=0일때 시작점, 즉 xb=0의 값을 가집니다. --> C2=1
즉, xb= (t+1)ln(t+1) 이라는 간단한 식으로 정리 됩니다.
xa와 xb가 같아지는 지점에서 둘은 만나게 되므로
xa = 10*(t+1) = (t+1)ln(t+1)을 만족하는 t 값을 구하면 되며
ln(t+1) = 10
t=e10-1
즉 약 22025.5초 뒤
화자가 따라잡습니다.,
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